Penduga Beda 2 Proporsi

I. Pendahuluan

Misalkan kita ingin menduga selisih antara dua parameter binom p1 dan p2. Parameter p1 misalnya adalah proporsi mahasiswa yang lulus sedangkan p2 adalah proporsi mahasiswa yang gagal. Jadi masalah kita adalah menduga selisih antara kedua proporsi itu. Pertama-tama kita mengambil contoh acak berukuran n1 dari suatu populasi binom yang mempunyai nilai tengah n1p1 dan ragam n1p1q1 serta contoh acak lain berukuran n2 dari populasi binom lain yang mempunyai nilai tengah n2p2 dan ragam n2p2q2. Kemudian kita hitung banyaknya mahasiswa dalam masing-masing contoh tersebut. Misalkan x1 dan x2. Serta menghitung p ̂1 = x1 / n1 dan p ̂2 = x2 / n2. Penduga titik bagi selisih antara kedua proporsi populasi p1 – p2 diberikan oleh statistic p ̂1 - p ̂2. Dengan demikian selisih antara proporsi contoh p ̂1 -p ̂2 akan digunakan sebagai nilai dugaan titik bagi p1-p2.

Selang kepercayaan bagi p1-p2 dapat disusun berdasarkan sebaran penarikan contoh p ̂1 - p ̂2. Dari pasal sebelumnya, bila n1 dan n2 cukup besar, kita mengetahui bahwa P ̂1 dan P ̂2 masing-masing mempunyai sebaran yang menghampiri normal, dengan nilai tengah p1 dan p2 dan ragam p1q/n1 dan p2q2/n2. Karena kedua contoh itu bebas satu sama lain, maka peubah acak P ̂1 dan P ̂2 juga bebas. Jadi kita dapat menyimpulkan bahwa P ̂1 - P ̂2 kira-kira menyebar normal dengan nilai tengah.

II. Pembahasan

Z(α⁄2) adalah nilai peubah acak normal baku yang di sebelah kanannya terdapat daerah seluas α⁄2 . Dengan mensubstitusikan z kita dapat menuliskan pernyataan peluang di atas menjadi :

Setelah melakukan manipulasi aljabar seperlunya, kita mengganti p1 dan p2 dengan nilai dugaannya masing-masing p ̂1 = x1/n1 dan p ̂2 = x2/n2 asalkan n1 dan n2 keduanya cukup besar, sehingga diperoleh selang kepercayaan kira-kira (1- α) 100% bagi p1 – p2

Pendugaan Beda 2 Proporsi dari Sampel-Sampel besar Pendugaan

III. Contoh Soal

1) Dari 120 sampel mahasiswa UI, 90 diantaranya adalah mahasiswa berkaca mata. Sedangkan dari 120 mahasiswa Gunadarma, 60 orang diantaranya adalah mahasiswa berkaca mata. Dengan tingkat keyakinan 95%, dugalah beda proporsi mahasiswa berkaca mata yang berasal dari dua universitas tersebut;

Jawab:

Dengan tingkat keyakinan 95%, diharapkan interval antara 13% sampai 37% merupakan selisih proporsi mahasiswa berkacamata yang berasal dari kedua universitas tersebut.

2) Dari 25 club sepak bola yang ada di pulau Jawa, 7 club menyetujui Nurdin Halid menjadi ketua PSSI. Sedangkan 20 club yang ada di pulau Sumatra, 5 club menyetujui Nurdin Halid menjadi ketua PSSI. Tentukan beda proporsi club yang setuju Nurdin Halid menjadi ketua pada tingkat signifikan 90% !